Ich hatte eher ein Bild von gegensätzlich, mit gleichbleibender Geschwindigkeit laufenden Lochbändern und Laserpulse, die immer die Löcher treffen müssen, egal ob die Laser in Ruhe zu den Bändern stehen oder links oder rechts längs zu den Bändern bewegt werden. Wenn die Laser immer die Löcher treffen sollen und kein Loch übersprungen werden kann, dann ist die einzige Lösung, dass sich die Abstände der Löcher auf dem einen Band vergrößern und auf dem anderen Band verkleinern müssen (wenn die Abstände aller Löcher je Band immer identisch sind/bleiben). Irgendwann überlappen sich die Löcher auf dem Band, bei dem sich die Abstände verkleinern.
Ich habe mit ChatGPT sämtliche Anschauung aus dem Bild, inkl. der Laser usw. verworfen und dann, das was mathematisch beschreibbar ist, übriggelassen. Wir haben die Kinematic der gegensätzlch laufenden Bänder ohne die Laser formalisiert und dafür ein bestimmtes Ausgangsobjekt gewählt.

Wir definieren also ein mathematisches Ausgangsobjekt, ohne dessen Ontologie benennen zu müssen. Ich will auch gar nichts interpretieren, sondern nur die Mathematik und die minimal notwendigen Interpretation der Gleichungen sprechen lassen.

PDF: https://raw.githubusercontent.com/a.../main/Split-Complex-Lorentzian_Kinematics.pdf

Aristotle Prompt: https://aristotle.harmonic.fun/dashboard/requests/bf83645f-493c-47a7-b344-5b1e3d2e04c4
Aristotle lean-Beweis als zip: https://github.com/antaris82/Split-...-493c-47a7-b344-5b1e3d2e04c4-aristotle.tar.gz
Github repository: https://github.com/antaris82/Split-Complex-Lorentzian_Kinematics/tree/main

Das ist nur eine Idee und ob der lean-Beweis wirklich trägt bzw. wo er bricht, das könnte man gerne diskutieren. Möglicherweise ist es auch trivial, da das Ausgangsobjekt eben so gesetzt ist aber auch das könnte diskutiert/verfeinert werden.

Zunächst ist das reine Algebra, letztlich eine Linearkombination von Richtungen und Lorentz-Generatoren.

Es gilt auch für n+1 Dimensionen.

Ich kenne Anwendungen in der QCD. Der Vakuumzustand wird trivial; Streuprozesse für Teilchen mit v ~ c insbs. in DIS werden einfacher, da bestimmte Freiheitsgrade einfrieren oder verschwinden; die Bedeutung der Hadron-Strukturfunktionen wird klarer.

Es gibt auch Nachteile, insbs. handelt es sich um einen singulären Grenzfall bzw. ein Werkzeug, das bestimmte Aspekte unkontrolliert eliminiert, was manchmal zu Vereinfachungen führt, manchmal zu Problemen (IR-Singularitäten, Verlust der manifesten Rotationsinvarianz, Renormierung, eliminierte Größen sind teilweise physikalisch relevant). Generell würde ich sagen, im UV kann es helfen, im IR ist es nutzlos. Man sieht die Probleme bereits bei einer klassischen Feldtheorie in 1+1 Dimensionen.

Wenn man zunächst wirklich nur bei der Algebra/Kinematik bleibt: Was würdest du in 3+1 als die minimalen unvermeidbaren Setzungen ansehen? Also welche Struktur muss man tatsächlich zusätzlich hineinnehmen und was ist nur eine bestimmte Darstellung oder Normalisierung dieser Struktur?

Es gibt nichts zusätzliches.

Man hat zunächst ganz normale Koordinaten und deren Transformation

Anschließend führt man

ein.

Für die Kinematik wear's das, etwas neues ergibt sich erst, wenn man die Dynamik von Teilchen oder Feldern im hamiltonschen Formalismus betrachten möchte.

Da muss ich wahrscheinlich zwei Ebenen auseinanderhalten. Hast du zum QCD Thema links zum nachlesen?

(Thomas kenne ich flüchtig; ist aber 30 Jahre her ...)

Beziehen sich die von dir genannten Probleme, singulärer Grenzfall, IR-Singularitäten, verlorene Rotationsinvarianz, problematische eliminierte Freiheitsgrade usw., bereits auf die reine algebraische/Lichtkegelkoordinaten-Darstellung der Lorentz-Kinematik oder entstehen sie erst dadurch, dass man die Nullfläche tatsächlich als Quantisierungsfläche benutzt, also bei der Light-Front-Formulierung?

Letzteres.

Die Kinematik ist ok, die Dynamik etwas seltsam, die Definition kanonisch konjugierter Impulse problembehaftet. Dabei muss man nochmal zwischen generellen Problemen sowie speziellen bei Eichfeldern sowie bei Fermionen unterscheiden. Thomas hat letzteres in den 90igern mal durchgezogen und damals einige Probleme durch Ignorieren "gelöst" (das Paper oben habe ich noch nicht gelesen). Ich habe das sehr explizit betrachtet und festgestellt, dass man bestimmte Probleme nicht lösen kann. Mein Chef hat eine Formalismus entwickelt, in dem man die Lichtkegelkoordinaten als Grenzfall betrachtet; dabei werden die Probleme des Grenzübergangs sehr klar, der Limes selbst bleibt singulär, die Rechnung vor dem Grenzübergang sind viel aufwändiger als üblich und damit nutzlos.

Ein Beispiel, das ebenfalls nur sehr indirekt durch einen Grenzübergang lösbar ist, jedoch im Grenzfall dennoch funktioniert:

Ein Teilchen mit Masse m > 0 und Spin s = 1 (rho-Meson, Z°-Boson) hat drei mögliche Spinorientierungen

Ein Teilchen mit Masse m = 0 und Spin s = 1 (Photon) hat zwei mögliche Spinorientierungen (eigtl. besser Polarisationsrichtungen)

Offenbar ist der Grenzübergang m gegen Null nicht stetig; beide Fälle sind sozusagen nicht miteinander verbunden. Die Darstellungen der Lorentz-Gruppe sind verschieden:

Macht man das selbe für nicht-abelsche Eichtheorien, dann bleibt eine Anomalie, die Theorie ist inkonsistent, also tot. Das war im wesentlichen der Grund für die "Erfindung" des Higgs-Mechanismus in der elektro-schwachen Theorie.

Bei der Lichtkegelquantisierung ist es nun nicht ganz so schlimm, es bricht nicht gleich die ganze Theorie zusammen, man kann diverse störende Effekte in bestimmten Grenzfällen ignorieren. Im Gegensatz zum Beispiel oben ist die Theorie nur krank.

Dein Ausgangspunkt ist die Lorentzstruktur selbst?

Ja.

Und nur in 1+1 Dim. mag das einfacher gehen.

Der Witz ist, dass ich überhaupt nichts in Richtung QCD im Sinn hatte. Aber du meinst das ist eher eine Sackgasse oder wenn keine Sackgasse, dann steckt da dennoch irgendwo tief der Wurm drin?

Es ist schon klassisch in gewisser Weise eine Sackgasse, wenn man die Dynamik in der kanonischen Formulierung betrachtet. Und es wird schlimmer in einigen Bereichen der QFT.

Dein Ausgangspunkt ist die Lorentzstruktur selbst?

Ja.

Und nur in 1+1 Dim. mag das einfacher gehen.

Wenn man bei der reinen Lorentzstruktur SO^+(1,3) startet, dann hat man sich bereits auf die reine Geometrie der vierdimensionalen Raumzeit festgelegt. Aus dieser Raumzeit-Struktur lässt sich die interne Farbsymmetrie der QCD SU(3)_c dann jedoch nicht ableiten? Man muss sie der Theorie im Standardmodell künstlich "von außen" als zusätzliches Eichprinzip aufprägen?

Also was haben die AI's und ich gemacht?
Ich hatte ein Bild (Lochbänder und Laserpulse) und wir haben das was dabei mathematisch passiert festgehalten und das Bild in den Mülleimer geworfen. Übrig blieb die Lorentzstruktur -> das erste paper aus #1
Die Lorentzstruktur im ersten paper war aber durch viele Setzungen trivial und darum begannen wir die Setzungen zu atomisieren und stückweise zu eliminieren bzw. auf tiefere Strukturen zurückzuführen.
Das haben wir insgesamt 8 mal iteriert.

Zum Schluss in Version 9 gibt es nur noch den R³ als letzte große offene Setzung. Selbst die komplexe Struktur ist vollständig abgleietet...bis auf Konjugation.
Für dein Thema der QCD könnte das spannend werden, da der Formalismus der Lorentzstruktur auf eine Clifford-/Jordan-Algebra zurückgeführt wird. Wenn ich dazu im Internet lese, dann könnte die Lorentzstruktur selbst eher der Endpunkt sein, anstelle ein Ausgangspunkt für die QCD. Der liegt vielleicht ein paar Etagen darunter.

Das paper v9: https://raw.githubusercontent.com/a...in/Split_Complex_Lorentzian_Kinematics_v9.pdf

Die ganze Reihe ist im Github-Repo zu finden: https://github.com/antaris82/Split-Complex-Lorentzian_Kinematics/tree/main
Der gesamte Aristotle-Chat (gleicher link wie in #1): https://aristotle.harmonic.fun/dashboard/requests/bf83645f-493c-47a7-b344-5b1e3d2e04c4

Das ist alles vollständig in lean bewiesen.

Wenn man bei der reinen Lorentzstruktur SO^+(1,3) startet, dann hat man sich bereits auf die reine Geometrie der vierdimensionalen Raumzeit festgelegt.

Irgendwo muss man anfangen.

Aus dieser Raumzeit-Struktur lässt sich die interne Farbsymmetrie der QCD SU(3)_c dann jedoch nicht ableiten? Man muss sie der Theorie im Standardmodell künstlich "von außen" als zusätzliches Eichprinzip aufprägen?

Jas, und Ja.

Das ist für die üblichen Quantenfeldtheorien sogar als recht Theorem beweisbar. Man muss wo ganz wo anders anfangen, sie z.B. die Stringtheorie.

Zum Schluss in Version 9 gibt es nur noch den R³. Selbst die komplexe Struktur ist vollständig abgleietet...bis auf Konjugation.

Das ist nicht abgeleitet.

Man kann aus dem R³ nichts geometrisches oder algebraisches ableiten, was nicht schon drin steckt, es sei denn, man führt weitere Prinzipien o.ä. ein.

Für dein Thema der QCD könnte das spannend werden, da der Formalismus der Lorentzstruktur auf eine Clifford-/Jordan-Algebra zurückgeführt wird. Wenn ich dazu im Internet lese, dann könnte die Lorentzstruktur selbst eher der Endpunkt sein, anstelle ein Ausgangspunkt für die QCD. Der liegt ein paar Etagen darunter.

Vergiss die Idee, Raumzeit plus Eichsymmetrie auf eine einfache gemeinsame Grundlage zurückzuführen. Das funktioniert, wenn überhaupt, dann nicht ohne weitere Zusatzannahmen. Prinzipien o.a.

Das ist nicht abgeleitet.

Man kann aus dem R³ nichts geometrisches oder algebraisches ableiten, was nicht schon drin steckt, es sei denn, man führt weitere Prinzipien o.ä. ein.

Das ist ein Punkt und ich habe es zu scharf geschrieben. Die genaue Definition steht in (1) und (2). Es ist kein "nackter" R³ aber doch eindeutig weniger als die Lorentzstruktur oder gar Raumzeit selbst. Das dies nicht der Endpunkt ist, das ist klar, denn auch die jetzigen Setzungen sind noch gewaltig aber ich wollte an der Stelle absichtlich abschließen.

Das kann auch nicht zirkulär sein, da die Lorentzstruktur nach wie vor der Endpunkt ist. Vorher war nur die Lorentzstruktur da und jetzt liegt die Obligation bei R³ im Sinne der Definitionen des v9 paper. Dazwischen sind aber nicht-triviale Strukturen "aufgetaucht", aus denen die Lorentzstruktur wiederum abgeleitet wird.

Vergiss die Idee, Raumzeit plus Eichsymmetrie auf eine einfache gemeinsame Grundlage zurückzuführen. Das funktioniert, wenn überhaupt, dann nicht ohne weitere Zusatzannahmen. Prinzipien o.a.

Ja das kann gut sein. Für mich war es auch nicht das Ziel aber interessant finde ich es dennoch. Wenn an der Konstruktion etwas bricht oder fehlt, dann sollte es lokalisierbar sein aber ein Zweig in Richtung QCD ist aktuell nicht wirklich geplant.

QFT hat mit dem Thema erst mal gar nichts zu. Sie ist nur eine "Spielwiese", anhand der man sieht, was sie schwer was wiegt.

Mir geht es zum jetzigen Zeitpunkt auch explizit nicht um QFT, sondern um die Lorentzstruktur bzw. wie sie abgleitet werden könnte. Das ist schon schwer genug. Ich habe auf dem Baum die natürlichen und die rationalen Zahlen und bin dabei die Cauchy-Vervollständigung zu R zu versuchen. Die natürlichen Zahlen sind als lean Typ implementiert -> ich habe meine eigenen CNNA natürlichen Zahlen und kann diese neben lean Nat oder mathlib Fin nutzen, ohne das es Probleme gibt. Das gleiche will ich für Q machen und dann für R.

Nun sagt das v9 paper, dass R³ benötigt wird. Das macht es schwieriger. Dazu liefert der Baum die komplexe Struktur und zeichnet das Vorzeichen lokal aus. Das könnten genau die Obligationen sein, die im v9 paper offen bleiben und ja, das wäre jede Menge Struktur, die dort jetzt noch in (1) und (2) gesetzt sind. Noch ist es nicht die leere Menge und das Branching nimmt vor allem darauf einfluss, "wie schnell und wie vollständig" alle rationalen Zahlen abgebildet werden. Das Funktioniert mit b=1, 2, 3,...,infty, die Erklärungsbedürftigkeit minimiert sich dadurch enorm. Übrig bleibt die Tiefe L, die einfach bis -> infty wächst.

Aristotle kennt den Baum nicht und hat keine Erinnerungen. Das war auch nie Teil der Fragestellungen. CNNA ist mit keinem Wort erwähnt worden und dennoch findet Aristotle genau diesen Ausgangspunkt für die Lorentzstruktur im v9 paper, welche der Baum liefern könnte.

Man kann aus dem R³ nichts geometrisches oder algebraisches ableiten, was nicht schon drin steckt, es sei denn, man führt weitere Prinzipien o.ä. ein.

Der minimale Input ist immer

• dim = 1 + n, in der Realität n = 3,
• eine differenziebare Mannigfaltigkeit
• eine technische Annahme die die Kausalität als physikalisches Prinzip kodiert .

Dann gibt es verschiedene weitere technische Annahme, mittels derer die lokale Lorentz-Symmetrie als Eichtheorie und damit der geometrische Rahmen der ART folgt.

Der minimale Input ist immer

• dim = 1 + n, in der Realität n = 3,
• eine differenziebare Mannigfaltigkeit
• eine technische Annahme die die Kausalität als physikalisches Prinzip kodiert .

Dann gibt es verschiedene weitere technische Annahme, mittels derer die lokale Lorentz-Symmetrie als Eichtheorie und damit der geometrische Rahmen der ART folgt.

Ja in der etablierten Sicht aber das "immer" ist mir einfach viel zu ultimativ/alternativlos und abschließend.
Um Dogmen zu verwerfen, muss man sie hinterfragen.

… Stand nun weiter beleuchten lassen …

Mir ist völlig unklar, was du da tust. Natürlich wissen wir, dass das alles irgendwie zusammen hängt, aber die expliziten Annahmen, die daraus zwingend folgenden Ableitungen, gegebenenfalls versteckte Annahmen die letztere nur vorgaukeln, der Sinn des Ganzen … erschließt sich mir nicht.

Zum Beispiel ist eine Clifford Algebra beziehungsweise Spinstruktur nicht ableitbar, sondern eine zusätzliche Definition plus Forderung, die die Geometrie einschränkt. Poincaré ist irrelevant, insofern man das auf gekrümmte Raumzeiten verallgemeinern möchte ...

Ja in der etablierten Sicht aber das "immer" ist mir einfach viel zu ultimativ/alternativlos und abschließend.
Um Dogmen zu verwerfen, muss man sie hinterfragen.

Theoreme sind keine Dogmen.

Schau dir doch mal einen trivialen Fall an: gegeben sind reelle Zahlen, und du möchtest daraus die komplexen Zahlen erhalten. Dann benötigst du irgendetwas von der Form i² = -1, ℝ² plus algebraische Relationen darauf o.ä.

Also einfach ℝ anzuschauen und plötzlich springt ℂ hervor geht nicht; Beweis: Invariance of domain (Brouwer). Man muss selbst etwas erfinden. Und dann ist das nicht mehr abgeleitet sondern konstruiert. Und so ist das immer in der Mathematik.