• Что такое площадь фигуры
• Единицы измерения площади
• Как найти площадь геометрической фигуры
• Как найти площадь сложной фигуры
• Задачи на площадь фигур с решениями
• Частые вопросы о площади фигуры
• Кратко о площади фигуры: главное, что нужно запомнить

Площадь — оценка того, сколько места фигура занимает на плоскости. Измеряется она в квадратных единицах — квадратных сантиметрах, метрах, километрах. Чем площадь отличается от длины и периметра, как перевести одни единицы измерения в другие и по каким формулам находить площадь основных геометрических фигур — в материале РИА Новости.

Площадь — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости.

"Сравним площадь фигуры с другими показателями: длиной и периметром. Длина описывает одно измерение в отличие от площади. Периметр характеризует сумму всех сторон фигуры. Площадь же показывает "заполненность" плоскости данной фигурой", — поясняет Мария Добрина, кандидат экономических наук, доцент кафедры моделирования и системного анализа в Финансовом университете при Правительстве РФ.

Александр Нестеров, преподаватель ЕГЭ по профильной математике, платформа "Сотка", предлагает рассмотреть разницу на примере ремонта. Чтобы купить плинтус, нужен периметр комнаты: складываем длины четырех стен. Чтобы купить линолеум, нужна площадь: перемножаем длину и ширину. Две комнаты с одинаковым периметром при этом могут иметь разную площадь. Прямоугольник 1 × 9 метров и квадрат 5 × 5 метров дают один периметр 20 метров, а площади различаются более чем в два раза: 9 и 25 квадратных метров.

Основная единица площади — квадратный метр (м²), площадь квадрата со стороной один метр. Более мелкие и крупные единицы строятся по тому же принципу.

На практике единицы выбирают по размеру объекта:

• квадратные миллиметры удобны для микросхем и почтовых марок;
• сантиметры — для книг и фотографий;
• дециметры — для мебели и экранов;
• метры — для комнат и квартир;
• ар и гектар — для садовых участков и сельского хозяйства;
• квадратные километры — для площади городов и регионов.

Важно! Переходы между единицами — то место, где школьники теряют больше всего баллов. Линейные единицы различаются в 10 или 100 раз, а квадратные — в квадрате этого числа:

• 1 м² = 100 дм² = 10 000 см² = 1 000 000 мм²;
• 1 км² = 1 000 000 м²;
• 1 га (гектар) = 10 000 м²;
• 1 ар (сотка) = 100 м².

"Ошибка вида "в метре 100 сантиметров, значит, в квадратном метре 100 квадратных сантиметров" встречается у каждого второго. Помогает наглядная проверка: квадрат метр на метр укладывается сотней полос по 100 сантиметров, отсюда и 10 000", — уточняет Александр Нестеров.

Универсальный алгоритм определения площади фигуры:

1. Определить тип фигуры.
2. Вспомнить или вывести формулу для расчета площади.
3. Подставить в формулу все известные данные.
4. Выполнить вычисления площади.
5. Не забыть представить площадь в квадратных единицах измерения.

Формула: S = a², где a — длина стороны. Например, при стороне 7 см площадь составит 7² = 49 см².

Если известна длина диагонали квадрата, тогда удобнее использовать следующую формулу: S = 1/2 d², где d — длина диагонали. Например, при длине диагонали 6 см площадь будет равна: S = ½ × 6² = 18 см².

Формула: S = a × b, где a и b — длина сторон. Прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см имеет площадь 6 × 4 = 24 см².

Базовая формула — половина произведения стороны на высоту, проведенную к ней: S = ½ × a × h. При основании 10 см и высоте 6 см площадь составит ½ × 10 × 6 = 30 см².

Для прямоугольного треугольника формула упрощается: S = ½ × a × b, где a и b — катеты, поскольку один катет служит высотой к другому.

Формула: S = πr², где r — радиус, а π ≈ 3,14. При радиусе 5 см площадь составит 3,14 × 5² ≈ 78,5 см².

Если в задаче дан не радиус, а диаметр, его сначала делят пополам — забытое деление ровно вчетверо завышает ответ.

Формула: S = a × h, где a — сторона, а h — высота, опущенная именно на эту сторону, а не сама наклонная сторона. При стороне 8 см и высоте 5 см площадь равна 8 × 5 = 40 см².

Если известна длина диагоналей, применяется следующая формула: S = ½ × d₁ × d₂. Например, при диагоналях 8 см и 6 см площадь составит ½ × 8 × 6 = 24 см²

Если есть информация о длине стороны ромба и опущенной на эту сторону высоте, то можно применить следующую формулу: S = a × h.

Формула: S = ½ · (a + b) × h, где a и b — основания, а h — высота. При основаниях 7 см и 5 см и высоте 4 см площадь составит ½ × (7 + 5) × 4 = 24 см².

Фигуру неправильной формы разбивают на знакомые части. Здесь есть два приема:

1. Сложение. Г-образную фигуру делят на два прямоугольника, считают каждый и складывают результаты. "Порез" можно провести по-разному, ответ от этого не меняется. Полезная проверка для ученика: разбить двумя способами и сравнить.
2. Вычитание. Если из фигуры вырезано отверстие, считают площадь целой фигуры и вычитают вырезанную часть. Так находят площадь кольца: S = πR² − πr², где R — внешний радиус, r — внутренний.

"Перед вычислениями стоит подписать на чертеже все известные размеры и отметить, каких не хватает. Половина ошибок в таких задачах возникает из-за того, что ученик перемножает не те отрезки", — советует Александр Нестеров.

Для фигур сложной формы с вершинами в узлах клетчатой бумаги в старших классах применяют еще и формулу Пика: S = В + Г/2 − 1, где В — число узлов внутри фигуры, а Г — число узлов на ее границе.

Задача 1. Комната имеет размеры 4,5 × 3,2 м. Сколько квадратных метров напольного покрытия нужно?

Решение. S = 4,5 × 3,2 = 14,4 м². С запасом на подрезку обычно берут около 15 м².

Задача 2. Найти площадь трапеции с основаниями 12 см и 8 см и высотой 5 см.

Решение. S = ½ × (12 + 8) × 5 = ½ × 20 × 5 = 50 см².

Задача 3. Участок имеет размеры 20 × 30 м, внутри него стоит дом 6 × 8 м. Сколько квадратных метров остается под газон?

Решение. Площадь участка: 20 × 30 = 600 м². Площадь дома: 6 × 8 = 48 м². Под газон остается 600 — 48 = 552 м².

Задача 4. Круглая клумба имеет радиус 3 м. Найти ее площадь.

Решение. S = 3,14 × 3² = 3,14 × 9 ≈ 28,3 м².

1. Чем площадь отличается от периметра?

Периметр — это длина границы фигуры в обычных единицах (см, м), а площадь — размер поверхности внутри нее в квадратных единицах (см², м²). У фигур с одинаковым периметром площадь может отличаться в разы.

1. Как перевести квадратные сантиметры в квадратные метры?

Разделить на 10 000, а не на 100 — именно эта ошибка встречается чаще всего при переводе линейных единиц в квадратные.

1. Как найти площадь фигуры, если она нарисована на клетчатой бумаге?

Посчитать количество целых клеток внутри нее, а неполные клетки объединить попарно в целые. Такой способ применяют для знакомства учеников младших классов с понятием "площадь фигуры" до изучения формул.

1. Что делать, если фигура имеет неправильную форму?

Разбить ее на знакомые простые фигуры — прямоугольники, треугольники — и сложить их площади, либо дополнить до более простой фигуры и вычесть лишнее.

Площадь показывает размер поверхности фигуры и измеряется в квадратных единицах — в отличие от длины и периметра. Кратко о главном:

• Основные формулы: квадрат — S = a²; прямоугольник — S = a × b; треугольник — S = ½ × a × h; круг — S = πr²; параллелограмм — S = a × h; трапеция — S = ½ × (a + b) × h.
• При переводе единиц площади линейный коэффициент нужно возводить в квадрат: 1 м² = 10 000 см², а не 100.
• Площадь сложной фигуры находят разбиением на простые части или вычитанием лишнего из более крупной фигуры.
• Перед решением задачи полезно подписать на чертеже все известные размеры — это снижает риск перепутать нужные отрезки.