Дзюба — воспитанник московского "Спартака", первый мяч за красно-белых он забил в матче Кубка России с "Сибирью" (3:1) 26 февраля 2007 года. Впервые сыграл за основную команду "Спартака" при тренере Владимире Федотове. Но в бытность Валерия Карпина во главе клуба у Дзюбы не задались с ним отношения. Во время пребывания в московской команде футболист попал в медийное пространство с плохой стороны, сообщалось, что он украл деньги у Владимира Быстрова. В "Спартаке" форварду не удалось закрепиться — последовали аренды в "Томь" и "Ростов". Со "Спартаком" он так ничего и не выиграл, но сумел забить 38 мячей в 166 матчах.

В 2015 году футболист перешел из "Спартака" в стан принципиального соперника — "Зенит". Поначалу все шло довольно успешно, но в 2018 году он не подошел главному тренеру итальянцу Роберто Манчини и отправился в аренду в тульский "Арсенал", где за десять матчей забил шесть мячей. Вернувшись в "Зенит" из аренды при новом тренере Сергее Семаке, форвард выиграл четыре чемпионства в РПЛ, два Кубка России, четыре Суперкубка страны. В октябре 2021 года Дзюба забил московскому "Динамо" и стал лучшим бомбардиром чемпионатов России с 144 голами, обойдя Олега Веретенникова по этому показателю. Всего Дзюба забил за "Зенит" 108 мячей в 249 матчах.

Несмотря на "ссылку" в "Арсенал", главный тренер сборной России Станислав Черчесов взял игрока в итоговую заявку на чемпионат мира 2018 года. В пяти матчах домашнего первенства Дзюба забил три гола и отдал две результативные передачи. Одним из памятных мячей стал гол в ворота испанцев с пенальти. За время турнира нападающему удалось влюбить в себя болельщиков, став для них народным героем.

Забив сборной Дании в матче чемпионата Европы 2021 года, Дзюба сравнялся с Кержаковым по мячам за национальную команду: в активе обоих по 30 мячей. Но после европейского первенства нападающий в сборную не вызывался. Нынешний тренер команды Карпин в условиях введенных против российского футбола санкций просматривает молодых игроков, поэтому Артему вряд ли предоставится возможность установить рекорд.

Летом 2022 года Дзюба покинул "Зенит". После продолжительной паузы форвард оказался в турецком клубе "Адана Демирспор". Там футболист в пяти матчах забил один мяч, но осенью расторг контракт по обоюдному согласию сторон. В феврале 2023 года Дзюба стал игроком московского "Локомотива". После долгой паузы без игровой практики футболист выглядел неплохо, продлил контракт на сезон, но в 2024 году покинул клуб. За железнодорожников нападающий забил 12 мячей и отдал девять результативных передач в 39 матчах.

В последний день летнего трансферного окна Дзюба подписал контракт с новичком РПЛ — тольяттинским "Акроном". Соглашение действует на один сезон с возможностью продлений на год. 9 марта Дзюба забил самарским "Крыльям Советов" и установил новый рекорд среди российских футболистов по голам, обойдя Кержакова. Сейчас в его активе пять голов в 13 матчах за "Акрон". После матча Дзюба заявил, что примет решение о своем будущем в конце сезона.